গণিত

গণিত কাকে বলে

সাধারণভাবে গণিত বলতে হিসাব-নিকাশ বিষয়টিকে বুঝায়। আর হিসাব-নিকাশ কথাটির সাথে সংখ্যা ও পরিমানের ধারণাটি চলে আসে। তাই, সংখ্যা ব্যবহার করে হিসাব-নিকাশের প্রক্রিয়াকে গণিত বলা যায়। গণিতের নির্দিষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া একটু কঠিন। গ্রিক পণ্ডিত অ্যারিস্টোটলের মতে “গণিত হল পরিমাণের বিজ্ঞান”। আবার, জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিক গাউস এর মতে, “গণিত হল সকল বিজ্ঞানের রাণী”।

অতএব বলা যায়, বিজ্ঞানের যে শাখায় পরিমাণ, গঠন, স্থান এবং পরিবর্তন বিষয়গুলো নিয়ে গবেষণা করা হয় তাকেই গণিত বলে। আর গণিত নিয়ে যাঁরা গবেষণা করেন তাঁদেরকে গণিতবিদ বলে। গণিতের অন্যতম প্রধান একটি কাজ হলো পরিমাপযোগ্য রাশি ও সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা এবং তা বর্ণনা করা। গণিতের অন্তর্ভুক্ত বিশৃঙ্খল, এলোমেলো এবং অসাবধানতাবশত সমস্যাগুলোকে গণিতবিদগণ সুশৃঙ্খল ও সুবিন্যস্ত আকারে বর্ণনা এবং উপস্থাপন করার প্রক্রিয়া সার্বক্ষণিক খুঁজে বেড়ান এবং এসব সমস্যাগুলোকে কিভাবে সমাধান করা যায় তার জন্য প্রতিনিয়ত নতুন নতুন ধারণা প্রদান করেন এবং তা সমাধানের চেষ্টা করেন। গণিত সংশ্লিষ্ট তাদের এই নতুন নতুন ধারণা অবশেষে গাণিতিক যুক্তি বা প্রমাণ দ্বারা যাচাই করা হয়। গণিতের ইতিহাস পর্যালোচনা করলে দেখা যায়, গণিতের এমন কিছু সমস্যা আছে যেগুলো সমাধান করতে গণিতবিদগণ বছরের পর বছর, যুগের পর যুগ সময় ব্যয় করে থাকেন। তাছাড়া এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা রয়েছে যা গণিতবিদগণ আজও পর্যন্ত সমাধান করতে সক্ষম হননি।

গণিতের নিজস্ব একটি ভাষা আছে। এটি হলো গণিতের সার্বজনীন ভাষা। এ ভাষা ব্যবহার করে বিজ্ঞানীরা বা গণিতবিদগণ একে অপরের সাথে তাদের মতামত ও নতুন নতুন ধ্যান-ধারণা বিনিময় করে থাকেন।

গণিতের মৌলিক ধারণা

অঙ্ক

অংক হলো গণিতের সংখ্যা প্রকাশের চিহ্ন বা প্রতীক। গণিতে একাধিক সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। এসব সংখ্যা পদ্ধতিগুলোর মধ্যে রয়েছে- ২ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি, ৮ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি, ১৬ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি, দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি ইত্যাদি। ২ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতিকে ইংরেজিতে বলে বাইনারি পদ্ধতি। তেমনিভাবে ৮ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতিকে অক্টাল, ১৬ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতিকে হেক্সাডেসিমেল এবং দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি কে বলা হয় ডেসিমেল পদ্ধতি। ডেসিমেল পদ্ধতি বা দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট দশটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়। অঙ্কগুলো হল ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯। দশমিক পদ্ধতির সংখ্যাই বিশ্বে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়।

একটি সংখ্যার প্রতিটি অঙ্কের দুই ধরণের মান থাকে। একটি হলো অংকটির নিজস্ব মান এবং অপরটি হলো সংখ্যাটিতে অংকটির স্থানীয় মান। উদাহরণস্বরূপ, ৫৭ সংখ্যাটিতে বাম থেকে শেষের অঙ্কটির নিজস্ব মান ৭, কিন্তু সংখ্যাটিতে ৭ এর স্থানীয় মান একক। আবার ৬৭২ সংখ্যাটিতে বাম থেকে প্রথম অংকটির নিজস্ব মান ৬, কিন্তু সংখ্যাটিতে ৬ অঙ্কটির স্থানীয় মান শতক।

গণিতকে মোটামুটিভাবে দুই ভাগে ভাগ করা যায়। তা হলোঃ

• বিশুদ্ধ গণিত
• ফলিত গণিত

বিশুদ্ধ গণিত

গণিতের যেসব ক্ষেত্রসমূহ বিশুদ্ধ গণিতের অন্তর্গত তা নিম্নরূপঃ

• পরিমাণ
• গঠন
• স্থান
• পরিবর্তন

পরিমাণ

পরিমাণ বিষয়ক আলোচনা পাটিগণিতের অন্তর্গত। গণিতে পরিমাণ বিষয়ক গবেষণা শুরু হয় সংখ্যা দিয়ে। প্রথমে স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পূর্ণ সংখ্যা পরিচিত করা হয়। তারপর এসব সংখ্যাসমূহের উপর পাটিগণিতের প্রক্রিয়া যেমন যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ ইত্যাদি প্রক্রিয়া প্রয়োগ করা হয়, যা পাটিগণিতের আলোচ্য বিষয়। তাছাড়া আরও কিছু উচ্চতর প্রক্রিয়া যেমন শতাংশ, বর্গমূল ইত্যাদির সাহায্যে পাটিগণিতের সূত্র ব্যবহার করে পরিমান বিষয়ক সমস্যার সমাধান করা যায়। সংখ্যাতত্ত্ব (theory of numbers) পূর্ণসংখ্যার জটিল ও গভীরতর ধর্ম ও বৈশিষ্ট্যসমূহ নিয়ে আলোচনা করে। সংখ্যাতত্ত্বের জগৎ বিখ্যাত একটি ফলাফল হল ফার্মার শেষ উপপাদ্য।

সংখ্যাতত্ত্বের দুইটি সমস্যা আজও পর্যন্ত পৃথিবীর কোন গণিতবিদ সমাধান করতে পারেননি। সমস্যা দুইটি হলঃ

• গোল্ডবাখের অনুমান
• দ্বৈত মৌলিক সংখ্যা অনুমান

তাছাড়া, সংখ্যাতত্ত্বকে আরো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে-

• সকল স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যার উপসেট অর্থাৎ, ℕ ⊂ ℤ
• সকল পূর্ণ সংখ্যা মুলদ সংখ্যার উপসেট অর্থাৎ, ℤ ⊂ ℚ
• সকল মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার উপসেট অর্থাৎ, ℚ ⊂ ℝ
• সকল বাস্তব জটিল সংখ্যার উপসেট অর্থাৎ, ℝ ⊂ ℂ

∴ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. এটি হলো সংখ্যা শ্রেণীকরণের প্রথম ধাপ।

গঠন

গণিতে, গঠন বীজগণিত এর সাথে সম্পৃক্ত। এমন অনেক গাণিতিক গঠন যেমন সংখ্যার সেট, ফাংশনের সেট ইত্যাদি রয়েছে যা ঐ সেটে সংজ্ঞায়িত প্রক্রিয়া বা অপারেশনের ফলাফল হিসাবে তাদের অভ্যন্তরীণ গঠন প্রদর্শন করে। গণিত ওইসব সেটের ধর্ম ও বৈশিষ্ট্যসমূহ নিয়ে গবেষণা করে যেসব সেটগুলোকে উক্ত গঠনে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাতত্ত্ব (theory of numbers) সকল পূর্ণ সংখ্যার সেট (set of integers) এর বৈশিষ্ট্যসমূহ নিয়ে আলোচনা করে কারণ সকল পূর্ণ সংখ্যার সেটকে পাটি গাণিতিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। আকার আকৃতি, প্রতিসাম্য এবং বিভিন্ন প্রকার গাণিতিক গঠন - এখানে আলোচিত হয়। গ্রুপ (group), রিং (ring) এবং ফিল্ড (field) এসবই বীজগাণিতিক গঠনের অন্তর্গত।

স্থান

গণিতে স্থান বা জগত (space) বিষয়ক গবেষণা জ্যামিতি থেকে উৎপত্তি হয়েছে। ইউক্লিডীয় জ্যামিতি স্থান এবং সংখ্যাকে সমন্বিত করেছে। গণিতের অন্যতম একটি শাখা হলো ত্রিকোণমিতি। বিভিন্ন প্রকার ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এর মাধ্যমে ত্রিভুজের বাহু ও কোণগুলোর মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করা যায়। আধুনিক স্থান বিষয়ক গবেষণায়- উচ্চ মাত্রার জ্যামিতি (higher-dimensional geometry), অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি (non-Euclidean geometries) এবং টপোলজি (topology)-তে এইসব ধারণা সমূহকে সাধারণীকরণ করা হয়।

তাছাড়া, বিশ্লেষণী জ্যামিতি (analytic geometry), অন্তরীকরণ জ্যামিতি (differential geometry) এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতি (algebraic geometry) তে পরিমান এবং স্থান খুবই গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

পরিবর্তন

গণিতে পরিবর্তন বিষয়ক গবেষণা ক্যালকুলাসের অন্তর্গত। পরিবর্তন পর্যবেক্ষণ এবং বর্ণনা করা - প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের একটি অতি সাধারণ বিষয়। এই পরিবর্তন পরিমাপের জন্যই ক্যালকুলাস এর উৎপত্তি হয়। বিভিন্ন প্রকার গাণিতিক ফাংশন এবং সংখ্যার মানসমূহের বিভিন্ন প্রকারের পরিবর্তন এখানে আলোচিত হয়।

ফলিত গণিত

ফলিত গণিতের অন্যতম দুটি শাখা হলোঃ

• পরিসংখ্যান এবং অন্যান্য সিদ্ধান্ত বিজ্ঞান (Statistics and other decision sciences)
• গণনীয় গণিত (Computational mathematics)

বিচ্ছিন্ন গণিত

গণিতের যে শাখায় মৌলিকভাবে বিচ্ছিন্ন গাণিতিক গঠনগুলো নিয়ে গবেষণা করা হয় তাকে বিচ্ছিন্ন গণিত বলে। বিচ্ছিন্ন গণিত এর এসব সংগঠনগুলো অবিচ্ছিন্ন গণিতের ধারণা থেকে সম্পূর্ণ আলাদা। গণিতের অবিচ্ছিন্নতার ধারণা এগুলোর উপর প্রয়োগ করা যায় না। অর্থাৎ অবিচ্ছিন্নতার কোনো সূত্র বিচ্ছিন্ন গণিত এর গঠনগুলোর উপর প্রয়োগ করা যায় না। বিচ্ছিন্ন গণিত এর অন্তর্গত সকল বস্তুই গণনাযোগ্য সেট। যেমন সসীম গ্রাফের সেট, পূর্ণ সংখ্যার সেট ইত্যাদি।

বিচ্ছিন্ন গণিত কম্পিউটার প্রোগ্রামিং তথা কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। কম্পিউটার সায়েন্সে বহুল ব্যবহারের কারণে বিচ্ছিন্ন গণিত এর গবেষণা উত্তরোত্তর বৃদ্ধি পাচ্ছে। কম্পিউটার প্রোগ্রামিং এর ভাষা ও অ্যালগরিদম বর্ণনা করতে গণিতের বিভিন্ন ধারণা ও প্রতীক চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। গণিতের ঐ সব ধারণা ও প্রতীক চিহ্নগুলো বিচ্ছিন্ন গণিতের অন্তর্ভুক্ত।

গণিতের পুরস্কার

বিজ্ঞানের কয়েকটি বিষয়ে নোবেল পুরস্কার প্রদানের ব্যবস্থা থাকলেও গণিতের জন্য কোনো নোবেল পুরস্কার নেই। তবে ১৯৩৬ সাল থেকে গণিতে নোবেল তুল্য পুরস্কার প্রবর্তনের ব্যবস্থা করা হয় যেটি গণিতের সবচেয়ে মর্যাদাপূর্ণ পুরস্কার। এই পুরস্কারটি ”ফিল্ডস মেডেল” বা “ ফিল্ডস পদক” বলে পরিচিত। গণিতে অসামান্য অবদান রাখার জন্য প্রতি চার বছর পরপর সর্বোচ্চ চারজন ব্যক্তিকে এই পুরস্কার প্রদান করা হয়।

১৯৭৮ সালে ইসরাইলে উলফ ফাউন্ডেশন (Wolf Foundation) প্রতিষ্ঠিত হয়। এই ফাউন্ডেশন ছয়টি বিষয়ের উপর প্রতিবছর পুরস্কার প্রদান করে থাকে। ছয়টি বিষয়ের মধ্যে একটি হলো গণিত।

তাছাড়া জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট ১৯০০ সালে ২৩টি উম্মুক্ত সমস্যার একটি বিখ্যাত তালিকা প্রকাশ করেন যেটি হিলবার্ট সমস্যা (Hilbert’s problems) বলে অভিহিত। এই তালিকাটি প্রকাশের পর জগত জুড়ে গণিতবিদগণের মধ্যে আলোড়ন সৃষ্টি হয়। এই সমস্যা গুলোর মধ্যে নয়টি সমস্যার সমাধান ইতোমধ্যে হয়েছে।

আবার “মিলেনিয়াম প্রাইজ প্রবলেম” (Millennium Prize Problems) নামে ২০০০ সালে সাতটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার একটি তালিকা প্রকাশ করা হয়। এই সমস্যা সাতটির এক-একটি সমাধানের জন্য এক মিলিয়ন ডলার (us dollar) পুরস্কার দেওয়া হবে মর্মে ঘোষণা করা হয়।